ЗМІСТ
Завдання 1………………………………………………..………………..……….3
Завдання 2……………………………………………….…..……………….…….4
Завдання 3……………………………………….…………………….…..……….6
Завдання 4………………………………………..…………………….…………..7
Завдання 5…………………..………………………….…………………..………8
Завдання 6………………………………………………………….……………..10
Завдання 7………………………………………..……………..………………...10
Завдання 8…………………………………….….………………...……………..11
Завдання 9…………………………………….….………………….....................12
Завдання 10…………………………………………………..…………………...13
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ…………………………………...14
Завдання 1. Розв'язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера:
Розв’язок:
а). За формулами Крамера:
Знайдемо визначники Δ , Δ, Δ, Δ:
За формулами:
Відповідь:
б). Методом Гауса:
Складемо розширену матрицю системи:
Таким чином, початкова система має бути зображена у вигляді:
Звідси отримаємо:
Відповідь:
Завдання 2. Знайти власні значення і власні вектори матриці:
Розв’язок:
І). Знайдемо власні числа з характеристичного рівняння:
ІІ). Для кожного знайдемо його власний вектор. Для цього запишемо однорідну систему рівнянь її спільне рішення.
=> =>
=> =>
=> => =>
Завдання 3. І) Знайти косинус кута між векторами .
Розв’язок:
= {(-4)-(-1),(-2)-(-2),5-1} = {-3,0,4}
= {(-8)-(-1),(-2)-(-2),2-1} = {-7,0,1}
Відповідь:
ІІ) Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках A1, A2, A3, A4 і його висоту, опущену із вершини A4 на грань A1, A2, A3.
Розв’язок:
1. Із вершини A1 проведемо вектори:
A1A2 = {-2,1,3}, A1A3 = {-2,-6,7}, A1A4 = {5,1,11}.
2. Обчислюємо змішаний добуток:
(А1А2, А1А2, А1А4) =
і знаходимо об'єм тетраедра за формулою:
Vт. = (од. довжини)³.
3. Обчислюємо координати векторного добутку:
{-11,-20,14}
та його модуль:
4. Знаходимо висоту h по формулі:
h = (од. довжини).
Відповідь: h = 7 од. довжини.
Завдання 4. Прибуток від продажу деякого товару в двох магазинах виражається функціями y= -8 + 16x і y = - 10 +19x , де x - кількість товару в сотнях штук, а y - прибуток в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш вигідним становиться продаж у другому магазині.
Розв’язок:
-10+19х > -8+16х
3х > 2
х > 0,667
Отже, при кількості більше 667 штук в другому магазині прибуток більше.
Відповідь: Більш вигідним стає продаж у другому магазині починаючи з 668 штук товару.
Завдання 5. Подані координати вершин трикутника АВС: А (0,1,1), В (4,6,4), С (8,3,3).
Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б) довжину висоти АД; в) внутрішній кут С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої, яка проходить через т. Е паралельно прямій АВ.
Розв’язок:
Знайдемо координату точки Е:
Рівняння медіани знайдемо за формулою:
- рівняння медіани АЕ
Довжина медіани АЕ знаходимо за формулою:
Координати векторів і знаходимо за формулами
СА = (0-8; 1-3; 1-3) = (-8; -2; -2)
СВ = (4-8; 6-3; 4-3) = (-4; 3; 1)
Внутрішній кут С у радіанах знаходимо за формулою:
Векторний добуток векторів і знаходимо за формулою:
Знайдемо площу трикутника АВС:
Довжина сторони СВ знаходимо за формулою:
Знайдемо довжину висоти АD:
Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку Е (4, 2, 2) паралельно прямій сторони АВ.
Рівняння АВ знайдемо за формулою:
- рівняння прямої АВ
Рівняння прямої, яка проходить через точку Е паралельно прямій АВ знаходимо за формулою:
Завдання 6. Обчислити границі:
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
Рішення:
а).
б).
в).
г).
Завдання 7. Продиференціювати вказані функції:
а) ; б) ;
в) .
Розв’язок:
а). ;
Відповідь:
в) .
;
;
;
.
Відповідь:
Завдання 8. Провести повне дослідження функції і побудувати її графік:
Розв’язок:
1.Область визначення
2. Область значення
3. Функція парна, неперіодична.
4. Точка перетину з віссю
оу:
х=0 ; у=1
(0; 1)
ох:
у=0 ; х - 1=0
х=1
(1; 0)
5. Знайдемо критичні точки:
y`=0
Завдання 9. Замінив...
